Benford Kanunu

Bir sayı seçin. Herhangi bir sayı. Birden bir milyona kadar. Hatta daha da fazlası.

Seçtiğiniz bu sayının 1 ile başlıyor olma ihtimali ne kadar?

Herhalde 9’da 1 diyeceksiniz. Yani yüzde 11 gibi bir şey.

Peki 9’la başlıyor olma ihtimali?

“Bu da soru mu şimdi?” dediğinizi duyar gibiyiz. Burada biz bizeyiz sonuçta. Hepimiz biraz “Olasılık” konusu gördük Matematik dersinde, değil mi?

Hepimiz “Olasılık” konusundan biliyoruz ki (O dersleri kaçıranlar bir lise Matematik kitabı aramaya koyulsunlar), 9 dahil olmak üzere 1 ile 9 arasında bir sayı (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) seçmemiz gerektiğinde, bu sayılardan herhangi birinin seçilme ihtimali 9’da 1‘dir.

Bu sebeple 1. sorumuza “9’da 1” dediniz ve 2. sorumuzu da ciddiye bile almadınız.

Bakın şimdi üzüldük işte.

Hayır, sorumuzu ciddiye almadığınız için değil, yanlış cevap verdiğiniz için üzüldük.

Çünkü doğru cevap %30 olacaktı.

Şimdi dikkatinizi toplayabildik mi?

Benford Kanunu

Frank Benford, Amerikalı bir elektrik mühendisi ve fizikçidir. 29 Mayıs 1883’te Pensilvanya’da doğar. Uzun yıllar General Electric’de çalışır. 1948’de hayata gözlerini yumar.

Optik aletlerle ilgili 20’den fazla patenti olsa da, kendisinden, hem de yazının tam da orta yerinde bahsettirebilmesinin sebebi, kendi adıyla anılan bir kanunudur: Benford Kanunu.

“İlk hane kanunu” olarak da bilinen Benford Kanunu’na göre, bir çok sayının yer aldığı bir listede yer alan sayıları incelediğimizde, sayıların ilk hanelerinin her zaman birbirinden farklı oranlarda tekrarladığını görürüz.

Mesela, bu kanuna göre listedeki sayıların %30.1‘i, 1 (bir) rakamıyla başlarken; ancak %4,6‘sı 9 (dokuz) rakamıyla başlar. Hatta 1’den 9’a doğru gidildikçe, rakamların ilk hanede bulunma ihtimalleri de gittikçe azalır.

Aşağıdaki grafikte, Benford Kanunu’na göre, rakamların ilk hanede bulunma ihtimallerini görebilirsiniz:

Bu kanunu, kendiniz de deneyebilirsiniz. Okuduğunuz bir gazetenin bir sayfasında geçen rakamları kontrol edebilir, web sitenizin istatistik sayfalarındaki rakamları mercek altına alabilirsiniz.

Sonuç, tam olarak Benford Kanunu’na uymasa da, bir noktayı kolayca fark edebileceksiniz: Bazı rakamlar daha sık karşınıza çıkıyor!

Blog yazarı Steve Mould, ülkelerin yüzey alanlarını dikkate aldığında ortaya şöyle bir grafik çıkmış:

Ülkelerin nüfuslarına bakıldığında ise, şöyle bir tablo ortaya çıkıyormuş:

Elbette bahsettiğimiz bu kural, her durumda geçerli değil. Telefon numaralarından oluşan bir listede veya yalnızca belli bir aralıktaki sayıların bulunabileceği bir listede; sonuçlar beklenenden çok daha farklı çıkabilecektir.

Ancak genele bakıldığında, bu kanun gayet yerinde görünüyor.

Peki nasıl?

Aslında, bunun sebebi biraz düşünüldüğünde kolayca anlaşılabiliyor. Daha önce de söylediğimiz gibi, 1 ile 9 dahil olmak üzere 1 ile 9 arasındaki rakamlardan 1’in seçilme ihtimali 1/9.

Ancak 10 sayısını da listeye eklediğimizde, 1 ile başlayan bir sayının seçilme ihtimali aniden 1/5’e yükseliyor. 19’a kadar da bu ihtimal sürekli artıyor.

Peki kimler kullanıyor?

Sayılarla uğraşılan pek çok alanda bu kanun kullanılabilir. Ancak en çok mali denetçilerin işine geliyor. Vergi kaçırmak amacıyla kağıtlara gerçek değerler yerine uyduruk sayılar yazan mükellifler, yazdıkları sayılar bu kanuna göre kontrol edildiğinde, yakayı ele verebiliyorlar.

Daha önce bir başka yazımızda da söylediğimiz gibi, rastgele, her zaman rastgele olmuyor!

Meraklısına not: d ile başlayan bir sayının ne kadar sıklıkla bulunabileceğini anlamak için şu formülü kullanmak gerekiyor: