Fermat’ın Son Teoremi

Pierre de Fermat (piyer dö ferma), Bask kökenli Fransız hukukçu ve matemetikçidir. İlk öğrenimini doğduğu şehir olan Beaumont-de-Lomagne’da yapar, yargıç olmak için Toulouse’ye gider. Enteresandır, en meşhur matematikçilerden biri kabul edilen Fermat, matematikle yalnızca amatör olarak ilgilenir.

Fermat, hayatı boyunca kitap yazmaz. Matematikçilerle fazla görüşmez. Kurduğu teoremlerin hiçbirinin ispatını yapmaz, başkalarının bulması için bıraktığını söyler. Gerçekten de teoremleri, sonradan farklı bilimadamları tarafından ispatlanırlar.

Ölümünden sonra, bulduğu teoremlerin unutulmasına sevdiklerinin gönlü razı gelmez. Fermat’in vasiyeti var mıdır bilinmez ama, geride bıraktıkları oğlu tarafından derlenir toplanır (Hepsi hepsi bir sayfa yazısı ve kitaplara iliştirilmiş kısa notları vardır) ve kitap haline getirilir. Kurduğu pek çok teorem olmasına rağmen, bu kadar tanınmasındaki en önemli sebep belki de Son Teoremi olmuştur.

Son Teorem; Fermat’ın, Diophantus’un Arithmetica kitabının köşesine düştüğü bir nottan ibarettir. Fermat, aⁿ + bⁿ = cⁿ eşitliğinin 2’den büyük n değerleri için geçersiz olduğunu not düşer ve altına ekler: “Bu teoremin müthiş bir ispatını buldum ama burada yazacak kadar yer yok!”

Bu küçük not, matematikçileri öylesine heyecanlandırır ki, 300 sene boyunca bu teoremin ispatını ararlar. İspatlanamayacağını söyleyenler, “Fermat bizle alay etmiş” diyenler çıkar, fakat 1996’da Andrew Wiles Son Teorem’i ispatlar.

Sahi neyin nesidir bu teorem?

x² + y² = z² eşitliğinin her zaman sağlandığını hepimiz biliyoruz. Pisagor Teoremi adıyla anılan bu eşitlik doğru olduğu gibi, x + y = z eşitliği de her zaman doğrudur.

Şüphede olan, üs sayısı arttığında da aynı eşitliğin kurulup kuramayacağıdır. Son Teorem, bu eşitliğin (xⁿ + yⁿ = zⁿ), 2’den büyük hiç bir n değeri için sağlanmadığını söyler. 300 yıl boyunca ispatlanamayan bu teorem, 1996’da Andrew Wiles’ın Şimura-Taniyama Konjektürü’nü de içeren ispatıyla kabul edilir.

Fermat ispatı biliyor muydu?

Bundan emin değiliz. Arithmetica‘ya düştüğü not, bütün diğer çalışmaları gibi, matematikçilerin aklına bir çengel takar. Fakat ispatlanmasına rağmen, bu teoremi Fermat’ın da ispatlayabildiğinden matematikçiler emin değil.

Bu şüphenin sebebi, Fermat’in yaşadığı yıllarda, Wiles’ın ispatında kullandığı yöntemlerin bilinmiyor olması. Fakat yine de matematikçiler emin değiller: Acaba Fermat daha kolay bir çözüm bulmuş olabilir mi? Bu şüpheyi haklı çıkarabilecek bir sebepleri de var: Şey… Wiles ispatı bulmasına buldu, ama ispat tam 200 sayfacık tutuyor.

İşin aslı Wiles, teoremi çok dolambaçlı yollarla çözmeye çalışır ve adeta kulağını tersten tutar, ama Fermat’ın ispatlayamadığı bir teoremi, diğer bilimadamlarına ispatlatmak için böyle bir oyun oynadığını iddia edenlerin de sesleri yükselir.

Bir bilim adamı düşünün ki, işe yarar bir çok teorem yazar (İki kare teoremi, poligonal numara teoremi, küçük teoremi vs.), fakat bu teoremlerin ispatıyla uğraşmaz. “Ee ne olacak canım?” derseniz, matematikçilere göre çok şey olur, bir teoremi ispatlayan bulmuş sayılır. Onlar da haklıdırlar, yoksa 4 işlem yapan herkes, kendince teorem kurar. Hem sonra, bir delinin attığı taşı, 40 matematikçi çıkaramaz, çıkarsalar da teorem sahibi sayılmaz, teoreme adlarını falan veremezler. Meşhur olmayacaklarsa, teorem ispatlanmış neye yarar?

Fermat’ı da işte bu durum meşhur yapar. Mezar açıp sorgulayamayacaklarından, Fermat’ı teoremleri ispatlamış sayarlar. Her teoremini farklı bilimadamları sonraları ispatlar ama haliyle Fermat gibi sükse yapamazlar.

Televizyon dünyası da Fermat’ın Son Teoremi’ne atıfta bulunur. Simpsonlar’ın bir bölümünde (“Treehouse of Horror VI”) arka planda 1782¹² + 1841¹² = 1922¹² eşitliğinin görüldüğü bir sahne göze çarpar. “Tek” bir sayı ile çift bir sayı toplanınca, sonuç çift olmamalıdır. Eline hesap makinesi geçirenler, bu eşitliğin sağlandığını görünce hepten şaşırır, “Acaba” derler, “Acaba Fermat yanıldı mı?”

Esasında bu senaristlerin minik bir şakasıdır, hesabı tam yapmak için hatasız bir hesap makinesi gerekir, diğerleri küsuratları yuvarlayınca sonuç böyle çıkar. Bir komedi çizgi dizisindeki böyle nükteli espriler ilgilisinin dikkatinden kaçmaz, “Adamlar yapmış abi…” edebiyatına sebep olurlar. Nitekim dizinin senarist kadrosunda profesyonel matematikçiler de vardır ve arada böyle “espriler” yaparak, seviyeli seyirci avlarlar.

Nihayetinde bugün Fermatla ilgili akıllarda hala bir soru işareti vardır. “İspatlarını biliyordu” diyenlere “Öyleyse hani ispatlar?” diyenlerle, “İspatlayamamıştı” diyenlere “Öyleyse neden teoremlerin hepsi doğru?” diyenler halihazırda çatışırlar.

Kimi bilim adamı teoremlerini ispatlamamasını “Sonradan unutulmamak arzusuna” bağlar, “Her bilim adamının hayali budur” diye noktalarlar.

Ne olursa olsun, Fermat’ın teoremleri, matematiğin pek çok bölümüyle doğrudan ilgilidir ve her zaman işe yararlar.